реши систему уравнений x²-xy-y²=19 x-y=7
Чтобы решить систему уравнений:
\( x^2 - xy - y^2 = 19 \)
\( x - y = 7 \)
Сначала выразим \( x \) через \( y \) из второго уравнения:
\[ x = y + 7 \]
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
\[ (y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19 \]
Раскроем скобки:
\[ (y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19 \]
Упрощаем:
\[ y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19 \]
Соберем все вместе:
\[ 14y - 7y + 49 - y^2 = 19 \]
\[ - y^2 + 7y + 49 = 19 \]
Переносим 19 влево:
\[ - y^2 + 7y + 30 = 0 \]
Умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:
\[ y^2 - 7y - 30 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \]
Теперь находим корни:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2} \]
Корни:
\[ y_1 = \frac{20}{2} = 10 \] \[ y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( x \):
- Если \( y = 10 \):
\[ x = 10 + 7 = 17 \]
- Если \( y = -3 \):
\[ x = -3 + 7 = 4 \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ (x_1, y_1) = (17, 10) \] \[ (x_2, y_2) = (4, -3) \]
Ответ: \( (17, 10) \) и \( (4, -3) \).
