Давайте решим задачу шаг за шагом.
Даны векторы:
- ( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -5 \end{pmatrix} )
- ( \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \ 4 \ 6 \end{pmatrix} )
- ( \vec{c} = \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ a \end{pmatrix} ) (где ( a ) — последняя координата вектора, предположим, что она равна ( a ))
Теперь найдем вектор ( \vec{p} ) по формуле:
[
\vec{p} = 2\vec{b} - 3\vec{a} + \vec{c}
]
Сначала посчитаем ( 2\vec{b} ):
[
2\vec{b} = 2 \begin{pmatrix} 0 \ 4 \ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 8 \ 12 \end{pmatrix}
]
Теперь посчитаем ( -3\vec{a} ):
[
-3\vec{a} = -3 \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \ -3 \ 15 \end{pmatrix}
]
Теперь сложим ( 2\vec{b} ) и ( -3\vec{a} ):
[
\begin{pmatrix} 0 \ 8 \ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \ -3 \ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 6 \ 8 - 3 \ 12 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \ 5 \ 27 \end{pmatrix}
]
Теперь добавим ( \vec{c} ):
[
\vec{c} = \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ a \end{pmatrix}
]
[
\vec{p} = \begin{pmatrix} -6 \ 5 \ 27 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 3 \ 5 + 1 \ 27 + a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \ 6 \ 27 + a \end{pmatrix}
]
Таким образом, вектор ( \vec{p} ) равен:
[
\vec{p} = \begin{pmatrix} -9 \ 6 \ 27 + a \end{pmatrix}
]
Теперь запишем разложение вектора ( \vec{p} ) по единичным векторам ( \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} ), ( \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} ), ( \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} ):
[
\vec{p} = -9\vec{e}_1 + 6\vec{e}_2 + (27 + a)\vec{e}_3
]
Получается, что вектор ( \vec{p} ) можно представить как:
[
\vec{p} = -9\vec{e}_1 + 6\vec{e}_2 + (27 + a)\vec{e}_3
]
