реши систему уравнений 2 способами x²-y²=8 x-y=2
Давайте решим систему уравнений двумя способами. Система состоит из двух уравнений:
- \( x^2 - y^2 = 8 \)
- \( x - y = 2 \)
Способ 1: Подстановка
Сначала решим второе уравнение относительно \( x \):
\[ x = y + 2 \]
Теперь подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:
\[ (y + 2)^2 - y^2 = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ y^2 + 4y + 4 - y^2 = 8 \]
Сократим \( y^2 \):
\[ 4y + 4 = 8 \]
Вычтем 4 из обеих сторон:
\[ 4y = 4 \]
Разделим на 4:
\[ y = 1 \]
Теперь подставим значение \( y \) обратно в уравнение для \( x \):
\[ x = 1 + 2 = 3 \]
Таким образом, мы получили одно решение системы:
\[ (x, y) = (3, 1) \]
Способ 2: Метод сложения (или вычитания)
Начнем с того, что у нас есть второе уравнение:
\[ x - y = 2 \]
Из него можем выразить \( y \):
\[ y = x - 2 \]
Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:
\[ x^2 - (x - 2)^2 = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 - (x^2 - 4x + 4) = 8 \]
Упростим:
\[ x^2 - x^2 + 4x - 4 = 8 \]
Сократим \( x^2 \):
\[ 4x - 4 = 8 \]
Добавим 4 к обеим сторонам:
\[ 4x = 12 \]
Разделим на 4:
\[ x = 3 \]
Теперь, подставим значение \( x \) обратно в уравнение для \( y \):
\[ y = 3 - 2 = 1 \]
Таким образом, мы снова получили решение:
\[ (x, y) = (3, 1) \]
Ответ: Решение системы уравнений: \( (x, y) = (3, 1) \).
