Давайте решим каждую из задач одну за другой, используя свойства вероятности.
Обозначим:
- Вероятность успешной отправки сообщения = ( p = \frac{8}{9} ) (так как вероятность сбоя равна ( \frac{1}{9} ))
- Вероятность сбоя = ( q = \frac{1}{9} )
а) Вероятность того, что сообщение отправится при второй попытке:
Это возможно только в случае, если первая попытка не удалась (сбой), а на второй попытке отправка будет успешной.
Вероятность этого события:
[
P(\text{успех на второй попытке}) = P(\text{сбой на первой}) \times P(\text{успех на второй}) = q \times p = \frac{1}{9} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{81}
]
б) Вероятность того, что сообщение отправится до четвертой попытки:
Сообщение может быть усп успешно отправлено на первой (с 1 попытки), второй (с 2 попытки) или третьей (с 3 попытки):
Успех на 1-й попытке:
[ P = p = \frac{8}{9} ]
Успех на 2-й попытке:
[ P = q \times p = \frac{1}{9} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{81} ]
Успех на 3-й попытке:
[ P = q \times q \times p = q^2 \times p = \left(\frac{1}{9}\right)^2 \times \frac{8}{9} = \frac{1}{81} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{729} ]
Теперь суммируем вероятности:
[
P(\text{успех до 4-й попытки}) = \frac{8}{9} + \frac{8}{81} + \frac{8}{729}
]
Сначала приведём дроби к общему знаменателю:
- Знаменатель будет ( 729 ).
[
\frac{8}{9} = \frac{8 \times 81}{729} = \frac{648}{729}, \quad \frac{8}{81} = \frac{8 \times 9}{729} = \frac{72}{729}
]
Теперь суммируем:
[
P(\text{успех до 4-й попытки}) = \frac{648}{729} + \frac{72}{729} + \frac{8}{729} = \frac{728}{729}
]
в) Вероятность того, что сообщение отправится не раньше третьей попытки:
Это означает, что на первых двух попытках у нас были сбои, а на третьей — успех. Таким образом,
[
P(\text{не раньше третьей попытки}) = q \times q \times p = q^2 \times p = \left(\frac{1}{9}\right)^2 \times \frac{8}{9} = \frac{1}{81} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{729}
]
Итог
а) Вероятность отправки при второй попытке: ( \frac{8}{81} )
б) Вероятность отправки до четвертой попытки: ( \frac{728}{729} )
в) Вероятность не раньше третьей попытки: ( \frac{8}{729} )
