В геометрической прогрессии (ГП) первое число ( b_1 ) и общий множитель ( q ) используются для нахождения других членов прогрессии и суммы первых ( n ) членов.
- Найдем ( b_5 ):
Формула для ( n )-ого члена геометрической прогрессии:
[
b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}
]
Подставим значение для ( b_5 ):
[
b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 32 \cdot \frac{1}{16} = 2
]
- Найдем ( b_{10} ):
Используем ту же формулу для ( b_{10} ):
[
b_{10} = b_1 \cdot q^{(10-1)} = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9 = 32 \cdot \frac{1}{512} = \frac{32}{512} = \frac{1}{16}
]
- Найдем ( S_{10} ) (сумму первых 10 членов):
Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Подставим значения для ( S_{10} ):
[
S_{10} = 32 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = 32 \cdot \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 32 \cdot 2 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right)
]
[
= 64 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 64 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{64 \cdot 1023}{1024} \approx 63.875
]
Теперь у нас есть все необходимые результаты:
- ( b_5 = 2 )
- ( b_{10} = \frac{1}{16} )
- ( S_{10} \approx 63.875 )
