Деепричастиями. ,,Атлета охватила радость увидев поражение соперников "

В вашем предложении неправильно употреблено деепричастие. Правильный вариант мог бы звучать так: "Атлета охватила радость, увидев поражение соперников." В этом предложении "увидев" является деепричастием и правильно указывает на действие, которое одновременно происходит с ведущим действием "охватила радость". Обратите внимание, что необходимо ставить запятую перед деепричастным оборотом, если он находится не в ближайшем контексте с подлежащим основного предложения.