ответ:

Чтобы найти значение производной данной функции \( y = \ln(1-x) \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{3 + x^2}}{2}\right) \) в точке \( x_0 = 0 \), нужно:

1. Найти производную функции \( y \) с помощью правила произведения: \[ y = u \cdot v \] где \( u = \ln(1-x) \) и \( v = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3 + x^2}}{2}\right) \).

2. Производная произведения: \[ y' = u'v + uv' \]

3. Найдем \( u' \) и \( v' \):

   • \( u' = \frac{d}{dx}(\ln(1-x)) = -\frac{1}{1-x} \)

   • Для нахождения \( v' \), применим производную арксинуса: \[ v = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3 + x^2}}{2}\right) \] Пусть \( z = \frac{\sqrt{3 + x^2}}{2} \).

     Тогда: \[ \frac{dz}{dx} = \frac{x}{2\sqrt{3 + x^2}} \]

     Производная арксинуса: \[ v' = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \cdot \frac{dz}{dx} \]

4. Подставьте \( z \) обратно и найдите значение производной в \( x = 0 \).

После выполнения всех вычислений, округлите результат до сотых.