Значение функции у=(lnx)/x в точке экстремума с точностью до 0,01 равно:

Чтобы найти значение функции \( y = \frac{\ln x}{x} \) в точке экстремума, сначала нужно найти производную функции и определить, где она равна нулю. 1. **Найдем производную:** Для функции \( y = \frac{\ln x}{x} \) мы применим правило деления производной: \[ y' = \frac{(1/x) \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] 2. **Найдем критические точки:** Теперь находим точки, где \( y' = 0 \): \[ 1 - \ln x = 0 \\ \ln x = 1 \\ x = e \] 3. **Проверим, что это точка экстремума:** Для этого можем воспользоваться второй производной или тестом для первой производной. Для простоты проверим знак первой производной. - Если \( x < e \): \( \ln x < 1 \) \( \Rightarrow y' > 0 \) (возрастающая) - Если \( x > e \): \( \ln x > 1 \) \( \Rightarrow y' < 0 \) (убывающая) Таким образом, в точке \( x = e \) находится максимум функции. 4. **Найдем значение функции в точке максимума:** Подставим \( x = e \) в исходную функцию: \[ y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \] 5. **Вычислим значение с точностью до 0,01:** Приблизительное значение \( \frac{1}{e} \) равно: \[ \frac{1}{2.718} \approx 0.367879 \] Округляя до 0,01, получаем: \[ y(e) \approx 0.37 \] Таким образом, значение функции \( y = \frac{\ln x}{x} \) в точке экстремума с точностью до 0,01 равно \( 0.37 \).