Значение функции у=(lnx)/x в точке экстремума с точностью до 0,01 равно:
Чтобы найти значение функции \( y = \frac{\ln x}{x} \) в точке экстремума, сначала нужно найти производную функции и определить, где она равна нулю.
Найдем производную:
Для функции \( y = \frac{\ln x}{x} \) мы применим правило деления производной: \[ y' = \frac{(1/x) \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \]Найдем критические точки:
Теперь находим точки, где \( y' = 0 \): \[ 1 - \ln x = 0 \\ \ln x = 1 \\ x = e \]Проверим, что это точка экстремума:
Для этого можем воспользоваться второй производной или тестом для первой производной. Для простоты проверим знак первой производной.- Если \( x < e \): \( \ln x < 1 \) \( \Rightarrow y' > 0 \) (возрастающая)
- Если \( x > e \): \( \ln x > 1 \) \( \Rightarrow y' < 0 \) (убывающая)
Таким образом, в точке \( x = e \) находится максимум функции.
Найдем значение функции в точке максимума:
Подставим \( x = e \) в исходную функцию: \[ y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \]Вычислим значение с точностью до 0,01:
Приблизительное значение \( \frac{1}{e} \) равно: \[ \frac{1}{2.718} \approx 0.367879 \] Округляя до 0,01, получаем: \[ y(e) \approx 0.37 \]
Таким образом, значение функции \( y = \frac{\ln x}{x} \) в точке экстремума с точностью до 0,01 равно \( 0.37 \).
