212 Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Найдите вероятность того, что к моменту выпадения орла будет сделано: a) ровно 4 броска; b) больше 2 бросков; б) 2 или 3…

При математическом моделировании броска монеты можно использовать вероятностные распределения. Если монета честная, то вероятность выпадения орла (обозначим её как \( P(H) \)) составляет 0.5, а вероятность выпадения решки (обозначим её как \( P(T) \)) также составляет 0.5.

1. Вероятность того, что к моменту выпадения орла будет сделано ровно 4 броска: Чтобы орел выпал на четвёртом броске, должны произойти три раза подряд выпадение решки, а затем выпадение орла. Это можно записать как:

   \[ P(X = 4) = P(T) \cdot P(T) \cdot P(T) \cdot P(H) = (0.5)^3 \cdot (0.5) = (0.5)^4 = \frac{1}{16}. \]

2. Вероятность того, что будет сделано больше 2 бросков: Это означает, что на первых двух бросках должны выпасть решки, и на третьем либо четвёртом, либо ещё позже должен выпасть орел. Мы можем воспользоваться комплементарной вероятностью:

   \[ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X = 1) + P(X = 2)]. \] Здесь:

   • \( P(X = 1) = P(H) = 0.5 \).
   • \( P(X = 2) = P(T) \cdot P(H) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25 \).

   Поэтому: \[ P(X \leq 2) = 0.5 + 0.25 = 0.75, \] \[ P(X > 2) = 1 - 0.75 = 0.25. \]

3. Вероятность того, что будет сделано 2 или 3 броска: Здесь нам нужно найти вероятность \( P(X = 2) + P(X = 3) \):

   • Мы уже нашли \( P(X = 2) = 0.25 \).
   • \( P(X = 3) = P(T) \cdot P(T) \cdot P(H) = (0.5)^2 \cdot 0.5 = 0.25 \).

   Поэтому: \[ P(X = 2 \text{ или } X = 3) = 0.25 + 0.25 = 0.5. \]

4. Вероятность того, что будет сделано не больше 3 бросков: Это означает, что орел выпадает на 1, 2 или 3 броске: \[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). \] Мы уже знаем:

   • \( P(X = 1) = 0.5 \),
   • \( P(X = 2) = 0.25 \),
   • \( P(X = 3) = 0.25 \).

   Таким образом: \[ P(X \leq 3) = 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1. \]

Резюме ответов: a) \( P(X = 4) = \frac{1}{16} \)
b) \( P(X > 2) = 0.25 \)
в) \( P(X = 2 \text{ или } 3) = 0.5 \)
г) \( P(X \leq 3) = 1 \)