Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(12; 2), B(18; 5), C(15; 11) и D(9; 8). (Доказательство выполни в тетради и самостоятельно…

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что его углы прямые. Для этого мы можем воспользоваться свойством векторов и вычислить скалярные произведения векторов, образованных соседними сторонами.

1. Найдём координаты точек:

   • A(12, 2)
   • B(18, 5)
   • C(15, 11)
   • D(9, 8)

2. Вычислим векторы:

   • Вектор AB = B - A = (18 - 12, 5 - 2) = (6, 3)
   • Вектор BC = C - B = (15 - 18, 11 - 5) = (-3, 6)
   • Вектор CD = D - C = (9 - 15, 8 - 11) = (-6, -3)
   • Вектор DA = A - D = (12 - 9, 2 - 8) = (3, -6)

3. Вычислим скалярные произведения:

   • AB · BC = (6 * -3) + (3 * 6) = -18 + 18 = 0
   • BC · CD = (-3 * -6) + (6 * -3) = 18 - 18 = 0
   • CD · DA = (-6 * 3) + (-3 * -6) = -18 + 18 = 0
   • DA · AB = (3 * 6) + (-6 * 3) = 18 - 18 = 0

Каждое скалярное произведение двух соседних векторов равно нулю, что означает, что углы ABC, BCD, CDA и DAB равны 90 градусам. Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

4. Найдём площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника можно найти по формуле: \[ S = AB \cdot BC \] где AB и BC — длины сторон, которые образуют прямой угол.

• Найдём длину стороны AB: \[ AB = \sqrt{(18 - 12)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

• Найдём длину стороны BC: \[ BC = \sqrt{(15 - 18)^2 + (11 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Теперь подставим значения в формулу площади: \[ S = AB \cdot BC = (3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5}) = 9 \cdot 5 = 45 \]

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 45.

Ответ: Площадь четырехугольника ABCD равна 45 (S = 45).