Запиши координаты точки, в которую перейдёт точка A(1;0) при повороте на угол α=5π÷2+2π

Давайте сначала упростим угол поворота. Угол \( \alpha = \frac{5\pi}{2} + 2\pi \) можно упростить:

\[ \alpha = \frac{5\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} \]

Теперь, чтобы определить, какой это угол в стандартных пределах (от \(0\) до \(2\pi\)), мы можем вычесть \(4\pi\) (так как \(4\pi\) соответствует двум полным оборотам):

\[ \alpha_{норм} = \frac{9\pi}{2} - 4\pi = \frac{9\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \]

Теперь мы знаем, что фактически точка A будет повёрнута на угол \( \frac{\pi}{2} \) радиан (или \(90\) градусов).

Точка \( A(1, 0) \) в полярной системе координат имеет координаты \( r = 1 \) (радиус) и угол \( \theta = 0 \). При повороте на угол \( \frac{\pi}{2} \) новые координаты полярной точки будут \( r = 1 \) и \( \theta = \frac{\pi}{2} \).

Теперь мы можем преобразовать эти координаты в декартову систему:

\[ x = r \cdot \cos(\theta) = 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \cdot 0 = 0 \] \[ y = r \cdot \sin(\theta) = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \cdot 1 = 1 \]

Таким образом, после поворота координаты точки A будут \( A'(0, 1) \).