Решите системы уравнений x y=1, 2x2 y2 -2=0 x-3y=5, y xy=-3

Давайте решим систему уравнений. У нас есть следующие уравнения:

1. \( xy = 1 \)
2. \( 2x^2y^2 - 2 = 0 \)
3. \( x - 3y = 5 \)
4. \( yxy = -3 \)

Упростим каждое уравнение:

1. Из первого уравнения \( xy = 1 \) можно выразить \( y \) как \( y = \frac{1}{x} \).

2. Подставим \( y = \frac{1}{x} \) во второе уравнение: \[ 2x^2\left(\frac{1}{x}\right)^2 - 2 = 0 \] Это упростится до: \[ 2 - 2 = 0 \] Это уравнение всегда верно, так что оно не содержит дополнительной информации.

3. Подставим \( y = \frac{1}{x} \) в третье уравнение: \[ x - 3\left(\frac{1}{x}\right) = 5 \] Умножим на \( x \) (принимаем во внимание, что \( x \neq 0 \)): \[ x^2 - 3 = 5x \] Приведем уравнение к стандартной форме: \[ x^2 - 5x - 3 = 0 \]

4. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2} \]

5. Теперь находим соответствующие значения \( y \): \[ y = \frac{1}{x} = \frac{2}{5 \pm \sqrt{37}} \]

6. Подставим \( x \) и \( y \) в четвертое уравнение \( yxy = -3 \): \[ yxy = -3 \] Подставляя \( y = \frac{1}{x} \): \[ \frac{1}{x} \cdot xy = -3 \Rightarrow 1 + 1 = -3 \] После подстановки, вы получите только одно решение, так что подходим к решению.

Финальные решения для \( x \): \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{37}}{2} \] и соответствующие \( y \): \[ y_1 = \frac{2}{5 + \sqrt{37}}, \quad y_2 = \frac{2}{5 - \sqrt{37}} \]

Таким образом, система уравнений имеет два решения.