Для решения этой задачи можно использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний (n = 700) и вероятность успешного исхода (p = 0,35).
- Вероятность того, что событие A происходит точно 270 раз.
Формула для биномиальной вероятности выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( n ) — общее количество испытаний (700),
- ( k ) — количество успешных исходов (270),
- ( p ) — вероятность успешного исхода (0,35),
- ( 1 - p ) – вероятность неуспеха (0,65).
Подставим значения:
[
P(X = 270) = C(700, 270) \cdot (0.35)^{270} \cdot (0.65)^{430}
]
- Вероятность того, что событие A происходит меньше чем 270 раз.
Для этого нужно суммировать вероятности от 0 до 269:
[
P(X < 270) = \sum_{k=0}^{269} P(X = k)
]
- Вероятность того, что событие A происходит больше чем 230 раз, но меньше чем 270 раз.
Эта вероятность будет равна разности между вероятностью того, что событие происходит меньше чем 270 раз, и вероятностью того, что событие происходит меньше чем или равно 230 раз:
[
P(230 < X < 270) = P(X < 270) - P(X \leq 230)
]
Таким образом, найдем ( P(X \leq 230) ):
[
P(X \leq 230) = \sum_{k=0}^{230} P(X = k)
]
Для вычислений предпочтительно использовать статистическое программное обеспечение или таблицы распределения, так как вычисления для биномиального распределения могут быть непростыми.
Также можно воспользоваться нормальным приближением биномиального распределения, так как ( n ) велико. В этом случае:
- Среднее: ( \mu = n \cdot p = 700 \cdot 0.35 = 245 )
- Дисперсия: ( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 700 \cdot 0.35 \cdot 0.65 )
- Стандартное отклонение: ( \sigma = \sqrt{\sigma^2} )
Для нахождения ожидаемых вероятностей можно воспользоваться стандартной нормой ( Z )-оценкой.
- Для точного вычисления ( P(X = 270) ) можно использовать специальный калькулятор или компьютерную программу.
- Для получения ( P(X < 270) ) и ( P(X > 230) ), стоит либо суммировать вероятности, либо использовать нормальное приближение.
Если вам нужны конкретные значения, дайте знать, и я помогу вам в расчетах.
