Обозначим скорость первого гонщика как ( v_1 ) км/ч, а скорость второго гонщика как ( v_2 ) км/ч. Общая длина трассы составляет ( 26 \times 4 = 104 ) км.
Сначала найдем время, за которое каждый из гонщиков проехал свои дистанции. Первый гонщик пришёл первым на финиш через 5 минут (или ( \frac{5}{60} = \frac{1}{12} ) часа) раньше второго. Это означает, что, если время, за которое проехал первый гонщик, обозначить как ( t_1 ), то время второго гонщика – ( t_2 = t_1 + \frac{1}{12} ).
Кроме того, по условию, первый гонщик обогнал второго после 30 минут. За 30 минут (или ( \frac{30}{60} = \frac{1}{2} ) часа) первый гонщик проехал:
[
d_1 = v_1 \times \frac{1}{2}
]
В это же время второй гонщик проехал:
[
d_2 = v_2 \times \frac{1}{2}
]
Поскольку первый гонщик обогнал второго на круг, разница в пройденных расстояниях составила длину круга (4 км):
[
d_1 - d_2 = 4
]
Подставим выражения для ( d_1 ) и ( d_2 ):
[
v_1 \times \frac{1}{2} - v_2 \times \frac{1}{2} = 4
]
Упрощая, получаем:
[
\frac{v_1 - v_2}{2} = 4
]
[
v_1 - v_2 = 8 \quad (1)
]
Теперь найдём времена гонщиков в терминах их скоростей:
[
t_1 = \frac{104}{v_1}, \quad t_2 = \frac{104}{v_2}
]
Из условия ( t_2 = t_1 + \frac{1}{12} ):
[
\frac{104}{v_2} = \frac{104}{v_1} + \frac{1}{12}
]
Умножим уравнение на ( 12v_1v_2 ) для устранения дробей:
[
12 \cdot 104 v_1 = 12 \cdot 104 v_2 + v_1 v_2
]
[
1248 v_1 = 1248 v_2 + v_1 v_2 \quad (2)
]
Теперь подставим из (1) ( v_1 = v_2 + 8 ) в (2):
[
1248(v_2 + 8) = 1248 v_2 + (v_2 + 8)v_2
]
Упрощаем:
[
1248v_2 + 9984 = 1248v_2 + v_2^2 + 8v_2
]
[
9984 = v_2^2 + 8v_2
]
[
v_2^2 + 8v_2 - 9984 = 0
]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9984) = 64 + 39936 = 39936 + 64 = 40000 = 200^2
]
Теперь найдём корни:
[
v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 200}{2}
]
Находим два значения:
- ( v_2 = \frac{192}{2} = 96 )
- ( v_2 = \frac{-208}{2} ) (отрицательное значение не имеет смысла)
Тогда скорость второго гонщика:
[
v_2 = 96 \text{ км/ч}
]
Используя (1):
[
v_1 = v_2 + 8 = 96 + 8 = 104 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорости гонщиков:
Скорость первого гонщика: 104 км/ч.
Скорость второго гонщика: 96 км/ч.
