Два гонщика участвуют в гонках.Им предстоит проехать 26 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км.Оба гонщик и стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше…
Два гонщика участвуют в гонках.Им предстоит проехать 26 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км.Оба гонщик и стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 5 минут. Найдите скорости гонщиков, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 30 минут после старта. Ответ дайте в км/ч. Скорость первого гонщика: км/ч. Скорость второго гонщика: км/ч.
Обозначим скорость первого гонщика как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго гонщика как \( v_2 \) км/ч. Общая длина трассы составляет \( 26 \times 4 = 104 \) км.
Сначала найдем время, за которое каждый из гонщиков проехал свои дистанции. Первый гонщик пришёл первым на финиш через 5 минут (или \( \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \) часа) раньше второго. Это означает, что, если время, за которое проехал первый гонщик, обозначить как \( t_1 \), то время второго гонщика – \( t_2 = t_1 + \frac{1}{12} \).
Кроме того, по условию, первый гонщик обогнал второго после 30 минут. За 30 минут (или \( \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \) часа) первый гонщик проехал:
\[ d_1 = v_1 \times \frac{1}{2} \]
В это же время второй гонщик проехал:
\[ d_2 = v_2 \times \frac{1}{2} \]
Поскольку первый гонщик обогнал второго на круг, разница в пройденных расстояниях составила длину круга (4 км):
\[ d_1 - d_2 = 4 \]
Подставим выражения для \( d_1 \) и \( d_2 \):
\[ v_1 \times \frac{1}{2} - v_2 \times \frac{1}{2} = 4 \]
Упрощая, получаем:
\[ \frac{v_1 - v_2}{2} = 4 \] \[ v_1 - v_2 = 8 \quad (1) \]
Теперь найдём времена гонщиков в терминах их скоростей:
\[ t_1 = \frac{104}{v_1}, \quad t_2 = \frac{104}{v_2} \]
Из условия \( t_2 = t_1 + \frac{1}{12} \):
\[ \frac{104}{v_2} = \frac{104}{v_1} + \frac{1}{12} \]
Умножим уравнение на \( 12v_1v_2 \) для устранения дробей:
\[ 12 \cdot 104 v_1 = 12 \cdot 104 v_2 + v_1 v_2 \] \[ 1248 v_1 = 1248 v_2 + v_1 v_2 \quad (2) \]
Теперь подставим из (1) \( v_1 = v_2 + 8 \) в (2):
\[ 1248(v_2 + 8) = 1248 v_2 + (v_2 + 8)v_2 \]
Упрощаем:
\[ 1248v_2 + 9984 = 1248v_2 + v_2^2 + 8v_2 \] \[ 9984 = v_2^2 + 8v_2 \] \[ v_2^2 + 8v_2 - 9984 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9984) = 64 + 39936 = 39936 + 64 = 40000 = 200^2 \]
Теперь найдём корни:
\[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 200}{2} \]
Находим два значения:
- \( v_2 = \frac{192}{2} = 96 \)
- \( v_2 = \frac{-208}{2} \) (отрицательное значение не имеет смысла)
Тогда скорость второго гонщика:
\[ v_2 = 96 \text{ км/ч} \]
Используя (1):
\[ v_1 = v_2 + 8 = 96 + 8 = 104 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорости гонщиков:
Скорость первого гонщика: 104 км/ч.
Скорость второго гонщика: 96 км/ч.
