Когда груз висит на пружине и колеблется, пружина находится в равновесии с силой тяжести, действующей на груз. Период колебаний можно связать с жесткостью пружины и массой груза по формуле:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}, ]
где:
- ( T ) - период колебаний (0,5 с),
- ( m ) - масса груза,
- ( k ) - жесткость пружины.
Когда груз снимается, пружина перестает быть нагруженной, и её длина изменится в зависимости от жесткости. Условие, при котором пружина возвращается в не нагруженное состояние, означает, что пружина вернется в своё естественное положение.
Для определения, на сколько укоротится пружина, нужно понять, насколько она растянулась под действием груза. Рассмотрим формулу для силы тяжести и силы, действующей на пружину.
Сила тяжести груза ( F = mg ), а сила пружины в растянутом состоянии ( F = kx ), где ( x ) - удлинение пружины.
При равновесии:
[ mg = kx. ]
Если мы знаем массу груза, его можно выразить через период:
[ m = \frac{kT^2}{4\pi^2}. ]
Подставим ( m ) в уравнение равновесия:
[ \frac{kT^2}{4\pi^2}g = kx. ]
Откуда:
[ x = \frac{gT^2}{4\pi^2}. ]
Теперь подставим ( g \approx 9,81 , \text{м/с}^2 ) и ( T = 0,5 , \text{с} ):
[ x = \frac{9,81 \cdot (0,5)^2}{4\pi^2} \approx \frac{9,81 \cdot 0,25}{39.478} \approx \frac{2,4525}{39.478} \approx 0,0622 , \text{м} \approx 6,22 , \text{см}. ]
Таким образом, пружина укоротится на около 6,22 см, когда груз будет снят.
