НИЙ Версия для печати и копирования в MS Word Тил 13 Nº 515648 (tgx+ а) Решите уравнение loggi 3) logia (2 sin*x) = 0. 2 cos.t) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие…

Чтобы решить уравнение:

\[ \log_{a}(2 \sin x) - \log_{a}(2 \cos x) = 0, \]

можем воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что \(\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\). Поэтому мы можем переписать это уравнение:

\[ \log_{a}\left(\frac{2 \sin x}{2 \cos x}\right) = 0. \]

Это уравнение эквивалентно:

\[ \frac{2 \sin x}{2 \cos x} = 1. \]

Сократив \(2\), получаем:

\[ \frac{\sin x}{\cos x} = 1. \]

Это можно переписать как:

\[ \tan x = 1. \]

Углы \(x\), для которых \(\tan x = 1\), можно найти так:

\[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \]

где \(k\) — любое целое число.

Теперь найдём все корни этого уравнения на интервале \(2\) до \(5\pi\). В этом интервале:

1. \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785\)
2. \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \approx 3.927\)
3. \(k = 2\): \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.068\) (вне интервала)
4. \(k = -1\): \(x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356\) (вне интервала)

Таким образом, корни на интервале от \(2\) до \(5\pi\):

1. \(x = \frac{\pi}{4}\)
2. \(x = \frac{5\pi}{4}\)

В итоге у нас есть два решения на заданном интервале:

\[ x = \frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}. \]