Является ли наречие внимательно неизменяемым?

Да, наречие "внимательно" является неизменяемым. Наречия в русском языке, как правило, не имеют формы рода, числа и падежа, и их форма остается постоянной в любом контексте. "Внимательно" используется для описания действия и не изменяется в зависимости от обстоятельств.