Решить задания

Давай вместе разберемся с заданиями!

1. Нам нужно доказать, что функция \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \). Для этого достаточно продифференцировать \( F(x) \) и сравнить с функцией \( f(x) \).

а) Продифференцируем \( F(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x - 7 \):

\( F'(x) = -3x^2 + 8x - 5 \)

Так как мы получили \( f(x) = 3x^2 + 8x - 5 \), то \( F(x) \) - и правда является первообразной для \( f(x) \), так как производная \( F(x) \) совпадает с \( f(x) \).

б) Теперь продифференцируем \( F(x) = 3x^3 - \ln x \):

\( F'(x) = 9x^2 - 1/x \)

Мы снова получили \( f(x) = 9x^2 - 1/x \), так что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \) по той же причине.

2. Теперь нам нужно найти первообразные для данных функций:

а) Для \( f(x) = \frac{2}{x^3} + \cos x \), первообразная будет суммой первообразных отдельных слагаемых:

\( \int f(x) dx = \int \frac{2}{x^3} dx + \int \cos x dx \)

\( \int \frac{2}{x^3} dx = - \frac{1}{x^2} \) (не забудь константу интегрирования!)

\( \int \cos x dx = \sin x \)

Итак, первообразная для \( f(x) \) будет (