В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , BC = 6 √ 6 5 , sin ( B ) = 1 5 . Найдите AB .

В треугольнике \( ABC \), где угол \( C \) равен \( 90^\circ \), мы можем воспользоваться соотношениями тригонометрии.

Зная, что \( \sin(B) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \): \[ \sin(B) = \frac{AC}{AB} \] где \( AC \) — противолежащая сторона к углу \( B \), а \( AB \) — гипотенуза.

Из условия задачи \( \sin(B) = \frac{1}{5} \), следовательно: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5} \implies AC = \frac{1}{5} AB \]

Также мы знаем, что \( BC = 6\sqrt{6} \).

Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \( ABC \), мы получаем: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим \( AC = \frac{1}{5} AB \) и \( BC = 6\sqrt{6} \) в уравнение: \[ AB^2 = \left(\frac{1}{5} AB\right)^2 + (6\sqrt{6})^2 \]

Вычислим: \[ AB^2 = \frac{1}{25} AB^2 + 216 \]

Умножим все на 25, чтобы избавиться от дробей: \[ 25AB^2 = AB^2 + 5400 \]

Переносим все в одну сторону: \[ 25AB^2 - AB^2 = 5400 \] \[ 24AB^2 = 5400 \]

Теперь делим обе стороны на 24: \[ AB^2 = \frac{5400}{24} = 225 \]

Наконец, находим \( AB \): \[ AB = \sqrt{225} = 15 \]

Ответ: \( AB = 15 \).