Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где (a) и (b) — длины катетов. Давайте обозначим катет, прилежащий к углу 60°, как (a), а катет, противоположный этому углу, как (b).
Площадь треугольника задана как:
[
S = \frac{500\sqrt{3}}{3}
]
С учетом угла 60°, мы можем использовать отношения в прямоугольном треугольнике:
[
\frac{b}{a} = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}
]
Отсюда можем выразить (b) через (a):
[
b = a \cdot \sqrt{3}
]
Теперь подставим это в формулу для площади:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2
]
Теперь подставим значение площади:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{500\sqrt{3}}{3}
]
Умножим обе стороны уравнения на (\frac{2}{\sqrt{3}}):
[
a^2 = \frac{500 \cdot 2}{3} = \frac{1000}{3}
]
Теперь находим (a):
[
a = \sqrt{\frac{1000}{3}}
]
А теперь найдем (b):
[
b = a \cdot \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1000}{3}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}
]
Таким образом, длина катета, противоположного углу 60°, составляет (10\sqrt{10}).
