Чтобы найти среднюю квадратичную скорость молекул идеального газа, можно использовать формулу:
[
\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3kT}{m}}
]
где:
- ( k ) — постоянная Больцмана (( k = 1.38 \times 10^{-23} , \text{Дж/К} )),
- ( T ) — температура газа в Кельвинах,
- ( m ) — масса одной молекулы газа.
Сначала необходимо найти температуру газа. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
[
PV = nRT
]
где:
- ( P = 536 , \text{kPa} = 536000 , \text{Па} ),
- ( V = 1,00 , \text{cm}^3 = 1.00 \times 10^{-6} , \text{м}^3 ),
- ( n ) — количество вещества в молях,
- ( R = 8.31 , \text{Дж/(моль·К)} ).
Сначала найдем количество вещества ( n ):
[
n = \frac{N}{N_A} = \frac{3.80 \times 10^{20}}{6.02 \times 10^{23}} \approx 6.31 \times 10^{-4} , \text{моль}
]
Теперь подставим значения в уравнение состояния идеального газа для нахождения температуры ( T ):
[
536000 \times 1.00 \times 10^{-6} = (6.31 \times 10^{-4}) \times (8.31) \times T
]
Отсюда выражаем ( T ):
[
T = \frac{536000 \times 1.00 \times 10^{-6}}{(6.31 \times 10^{-4}) \times (8.31)} \approx 104.48 , \text{К}
]
Теперь найдем массу молекулы газа ( m ). Для этого используем молярную массу:
[
M = 32 , \text{г/моль} = 0.032 , \text{кг/моль}
]
[
m = \frac{M}{N_A} = \frac{0.032}{6.02 \times 10^{23}} \approx 5.31 \times 10^{-26} , \text{кг}
]
Теперь, подставив значения в формулу для средней квадратичной скорости:
[
\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3 \times (1.38 \times 10^{-23}) \times (104.48)}{5.31 \times 10^{-26}}}
]
Вычислим:
[
\langle v_{кв} \rangle \approx \sqrt{\frac{4.32 \times 10^{-21}}{5.31 \times 10^{-26}}}
]
[
\langle v_{кв} \rangle \approx \sqrt{8.13 \times 10^{4}} \approx 285.2 , \text{м/с}
]
Таким образом, средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул этого газа составляет примерно ( 285.2 , \text{м/с} ).
