На тренировку пришли 16 человек, среди них две подруги Настя и Аня. Тренер разделил всех участников случайным образом на две одинаковые по численности команды. Найдите вероятность…
На тренировку пришли 16 человек, среди них две подруги Настя и Аня. Тренер разделил всех участников случайным образом на две одинаковые по численности команды. Найдите вероятность того, что Настя и Аня оказались в одной команде.
Для решения этой задачи найдем вероятность того, что Настя и Аня окажутся в одной команде, когда 16 человек делятся на две команды по 8 человек.
Выбор команды для Насти и Ани: Мы можем выбрать любую из двух команд для Насти и Ани. Давайте рассмотрим один случай, когда они обе попадают в команду 1.
Выбор оставшихся членов команды: После того, как Настя и Аня уже находятся в команде 1, нам нужно выбрать еще 6 человек из оставшихся 14 (поскольку 16 - 2 = 14).
Общее количество способов формирования команд: Общее количество способов разбить 16 человек на две команды по 8 человек можно вычислить через биномиальные коэффициенты:
\[ C(16, 8) = \frac{16!}{8! \cdot 8!} \]
Способы выбрать команду: Число способов сформировать команду с Настей и Аней:
\[ C(14, 6) = \frac{14!}{6! \cdot 8!} \]
Теперь, мы можем подставить эти значения, чтобы найти вероятность:
\[ P(\text{Настя и Аня в одной команде}) = \frac{C(14, 6)}{C(16, 8)} \]
Поскольку \( C(16, 8) = C(14, 6) \cdot \frac{16 \cdot 15}{8 \cdot 7} \), подставим это соотношение:
\[ P(\text{Настя и Аня в одной команде}) = \frac{C(14, 6)}{C(14, 6) \cdot \frac{16 \cdot 15}{8 \cdot 7}} = \frac{1}{\frac{16 \cdot 15}{8 \cdot 7}} = \frac{8 \cdot 7}{16 \cdot 15} = \frac{56}{240} = \frac{7}{30} \]
Таким образом, вероятность того, что Настя и Аня окажутся в одной команде, равна \( \frac{7}{30} \).
