Реши бля

Давай решим проблемы друг за другом:

1. \(\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{8n}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n}\)

Просто сократим \(n\):

\[ \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty \]

3. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{n - 3}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n(1 - \frac{1}{n})}{1 - \frac{3}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(1 - 0)}{1 - 0} = \infty \]

4. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^2}\)

Сократим:

\[ \lim_{n \to \infty} n = \infty \]

5. \(\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 2}{n - 8}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{2}{n}}{1 - \frac{8}{n}} = \frac{2}{1} = 2 \]

6. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3}{2n^2 + 1}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2} \]

7. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 2}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} = 1 \]

8. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{n^3 + 7}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^3\):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{7}{n^3}} = 0 \]

9. \(\lim_{n \to \infty} \frac{4}{2n + 1}\)

Так как числитель константа, а знаменатель стремится к бесконечности:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{4}{2n + 1} = 0 \]

10. \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^n}\right)\)

Это геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем \(\frac{1}{5}\), сумма бесконечно убывающей прогрессии:

\[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{5}{4} \]

Если сумма считается до бесконечности, выше указанное значение верно. Если до \(n\), нужно считать конечную сумму с последним членом.

Если будут вопросы, пиши!