Давайте решим каждую из задач по очереди.
- Задача 1: Итак, у нас есть подобные треугольники ABC и PEF. Из подобных треугольников следует, что отношение их сходственных сторон равно отношению любых двух сходственных отрезков.
Формула для нахождения стороны в подобии треугольников:
[
\frac{AB}{PE} = \frac{AC}{PF}
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{12}{8} = \frac{AC}{9}
]
Решаем уравнение:
[
AC = \frac{12 \cdot 9}{8} = \frac{108}{8} = 13,5 , \text{см}.
]
Ответ: B) 13,5 см.
- Задача 2: В треугольниках MNK и ABC соблюдаются соотношения углов. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
У нас есть:
[
\angle N = 40°, \quad \angle C = 35°.
]
Чтобы найти угол A, сначала найдем угол B:
[
\angle B = 180° - \angle C - \angle A.
]
Так как треугольники подобны, то:
[
\angle B = \angle M \quad \text{и} \quad \angle A = 180° - \angle N - \angle M.
]
Получаем:
[
\angle A = 180° - 40° - \angle B.
]
Но нам нужно просто учесть, что:
[
\angle A + \angle N + \angle C = 180°.
]
Следовательно:
[
\angle A = 180° - 40° - 35° = 105°.
]
Ответ: C) 105°.
- Задача 3: Площадь подобного треугольника связана с отношением их сторон. Если площади равны 9 см² и 16 см², то отношение площадей равно:
[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{16}.
]
Отношение сходственных сторон будет равно корню из отношения площадей:
[
\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}.
]
Если одна сторона первого треугольника равна 6 см, то находим сходственную сторону второго треугольника:
[
a = 6 \quad \text{и} \quad b = \frac{4}{3} \cdot a = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8 , \text{см}.
]
Ответ: A) 8 см.
- Задача 4: Даны сходственные стороны в соотношении 3:4. Обозначим площади треугольников как S1 и S2. Тогда, используя отношение площадей:
[
\frac{S1}{S2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}.
]
Пусть ( S_1 = 9x ) и ( S_2 = 16x ), и учитываем, что ( S_1 + S_2 = 250 см² ):
[
9x + 16x = 250 \Rightarrow 25x = 250 \Rightarrow x = 10.
]
Теперь находим S1:
[
S_1 = 9x = 90 , \text{см}^2.
]
Ответ: D) 90 см².
- Задача 5: Если площади равны 50 см² и 128 см², то:
[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{50}{128} = \frac{25}{64}.
]
Соотношение периметров также будет равно тому же, как и отношения сторон:
[
\frac{P_1}{P_2} = \frac{5}{8}.
]
Пусть периметры ( P_1 = 5x ) и ( P_2 = 8x ). Тогда:
[
P_1 + P_2 = 260 \Rightarrow 5x + 8x = 260 \Rightarrow 13x = 260 \Rightarrow x = 20.
]
Теперь найдем периметр большего треугольника:
[
P_2 = 8x = 8 \cdot 20 = 160 , \text{см}.
]
Ответ: C) 160 см.
