Одним из наиболее сложных уровней в математике считается "твердая" область математической логики и теории множеств, а также более специализированные области, такие как:
Гипотеза Контрактива - открытая проблема в теории множеств, которая ставит вопрос о том, существует ли множество с определенными свойствами.
Гипотеза Римана - одна из самых известных и долго неразрешенных проблем в аналитической теории чисел, касающаяся распределения простых чисел.
Проблема Пуанкаре - одна из семи "задач тысячелетия", решение которой было найдено Григорием Перельманом в начале 2000-х.
Теорема Гёделя о неполноте - утверждает, что в любой достаточной сильной формальной системе существуют истинные утверждения, которые не могут быть доказаны в рамках этой системы.
Различные аддитивные и мультипликативные проблемы теории чисел - например, проблема о том, как представить числа в виде суммы простых чисел и связаны ли они с определенными свойствами.
Эти и другие области являются не только сложными, но и фундаментальными для понимания современных достижений в математике.