Объем цилиндра равен 192 п см, а площадь его осевого сечения 24 см³. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра

Для решения задачи нам сначала необходимо найти радиусы цилиндра, а затем использовать эти данные для нахождения площади сферы, описанной около цилиндра.

1. Запишем формулы:

   • Объем цилиндра \( V = S \cdot h \), где \( S \) — площадь основания цилиндра, а \( h \) — высота цилиндра.
   • Площадь осевого сечения цилиндра равна площади его основания \( S = \pi r^2 \), где \( r \) — радиус основания цилиндра.

2. Известные данные:

   • Объем цилиндра \( V = 192 \, \text{п см} = 192 \, \text{см}^3 \)
   • Площадь осевого сечения (основания) \( S = 24 \, \text{см}^2 \)

3. Находим высоту цилиндра:

   • Из формулы объема: \[ h = \frac{V}{S} = \frac{192}{24} = 8 \, \text{см} \]

4. Теперь находим радиус основания цилиндра:

   • Площадь основания \( S = 24 \, \text{см}^2 = \pi r^2 \) \[ r^2 = \frac{S}{\pi} = \frac{24}{\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \]

5. Теперь найдем радиус описанной сферы:

   • Радиус описанной сферы \( R \) вокруг цилиндра можно найти по формуле: \[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{24}{\pi} + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{24}{\pi} + 4^2} \] \[ R = \sqrt{\frac{24}{\pi} + 16} = \sqrt{\frac{24 + 16\pi}{\pi}} \]

6. Площадь сферы:

   • Площадь сферы \( S_s = 4\pi R^2 \): \[ S_s = 4\pi \left( \frac{24 + 16\pi}{\pi} \right) \] \[ S_s = 4(24 + 16\pi) = 96 + 64\pi \]

Таким образом, площадь сферы, описанной около цилиндра, равна: \[ S_s = 96 + 64\pi \, \text{см}^2 \]