найдите точку минимума функции у=х3-6,5х2-56х+8
Для нахождения точки минимума функции \( y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8 \) нужно найти первую производную функции и решить уравнение, равное нулю.
Найдём первую производную функции: \[ y' = 3x^2 - 13x - 56 \]
Теперь установим производную равной нулю: \[ 3x^2 - 13x - 56 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 3 \), \( b = -13 \), \( c = -56 \).
Подставим значения: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-56)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 672}}{6} \] \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{841}}{6} \] \[ x = \frac{13 \pm 29}{6} \]
Теперь найдем два возможных значения \( x \): \[ x_1 = \frac{42}{6} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \]
- Чтобы определить, является ли точка минимумом или максимумом, нужно проверить знак второй производной: \[ y'' = 6x - 13 \]
Теперь проверим вторую производную в найденных точках:
Для \( x = 7 \): \[ y''(7) = 6 \cdot 7 - 13 = 42 - 13 = 29 > 0 \] Это означает, что в данной точке находится минимум.
Для \( x = -\frac{8}{3} \): \[ y''\left(-\frac{8}{3}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) - 13 = -16 - 13 = -29 < 0 \] Это означает, что в данной точке находится максимум.
Итак, точка минимума функции \( y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8 \) находится в \( x = 7 \). Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ y(7) = 7^3 - 6.5 \cdot 7^2 - 56 \cdot 7 + 8 \] \[ = 343 - 6.5 \cdot 49 - 392 + 8 \] \[ = 343 - 318.5 - 392 + 8 = -359.5 \]
Таким образом, точка минимума функции имеет координаты \( (7, -359.5) \).
