Чтобы найти наибольшее значение функции ( f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 ) на отрезке ([-2; 0]), нам нужно:
- Найти производную функции ( f'(x) ).
- Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
- Проверить значения функции на критических точках и на концах отрезка.
Шаг 1: Найдем производную функции
[
f'(x) = 1 - x^2
]
Шаг 2: Найдем критические точки
Приравняем производную к нулю:
[
1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ или } x = -1
]
Критическая точка ( x = 1 ) не входит в интервал ([-2; 0]). Остальная критическая точка — это ( x = -1 ).
Шаг 3: Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка
Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- ( f(-2) ):
[
f(-2) = -2 - \frac{1}{3}(-2)^3 = -2 - \frac{1}{3}(-8) = -2 + \frac{8}{3} = -2 + \frac{8}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{2}{3}
]
- ( f(-1) ):
[
f(-1) = -1 - \frac{1}{3}(-1)^3 = -1 - \frac{1}{3}(-1) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}
]
- ( f(0) ):
[
f(0) = 0 - \frac{1}{3}(0)^3 = 0
]
Шаг 4: Сравним значения
Теперь у нас есть значения функции:
- ( f(-2) = \frac{2}{3} )
- ( f(-1) = -\frac{2}{3} )
- ( f(0) = 0 )
Наибольшее значение функции на отрезке ([-2; 0]) соответствует точке ( x = -2 ) и равно ( \frac{2}{3} ).
Ответ
Наибольшее значение функции ( f(x) ) на отрезке ([-2; 0]) равно ( \frac{2}{3} ).
