найдите наибольшее значение функции f(x)= x-1/3x3 [-2;0]

Чтобы найти наибольшее значение функции \( f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 \) на отрезке \([-2; 0]\), нам нужно:

1. Найти производную функции \( f'(x) \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Проверить значения функции на критических точках и на концах отрезка.

Шаг 1: Найдем производную функции

\[ f'(x) = 1 - x^2 \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Приравняем производную к нулю:

\[ 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ или } x = -1 \]

Критическая точка \( x = 1 \) не входит в интервал \([-2; 0]\). Остальная критическая точка — это \( x = -1 \).

Шаг 3: Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

1. \( f(-2) \):

\[ f(-2) = -2 - \frac{1}{3}(-2)^3 = -2 - \frac{1}{3}(-8) = -2 + \frac{8}{3} = -2 + \frac{8}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \]

2. \( f(-1) \):

\[ f(-1) = -1 - \frac{1}{3}(-1)^3 = -1 - \frac{1}{3}(-1) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \]

3. \( f(0) \):

\[ f(0) = 0 - \frac{1}{3}(0)^3 = 0 \]

Шаг 4: Сравним значения

Теперь у нас есть значения функции:

• \( f(-2) = \frac{2}{3} \)
• \( f(-1) = -\frac{2}{3} \)
• \( f(0) = 0 \)

Наибольшее значение функции на отрезке \([-2; 0]\) соответствует точке \( x = -2 \) и равно \( \frac{2}{3} \).

Ответ

Наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \([-2; 0]\) равно \( \frac{2}{3} \).