Обозначим:
- ( x ) — количество дней, в течение которых работала первая бригада.
- ( y ) — количество дней, в течение которых работала вторая бригада.
- ( a ) — количество плиток, которые укладывает вторая бригада за день.
Тогда первая бригада укладывает ( a + 40 ) плиток в день. У нас есть следующие уравнения:
Первая бригада укладывает 270 плиток:
[
x(a + 40) = 270
]
Вторая бригада укладывает 250 плиток, и она работала на 2 дня дольше:
[
y \cdot a = 250, \quad y = x + 2
]
Теперь подставим ( y ) из второго уравнения в первое. Подставляем ( y ) в уравнение:
[
y = x + 2 \Rightarrow a = \frac{250}{y} = \frac{250}{x + 2}
]
Теперь мы можем выразить ( a ) через ( x ) и подставить ( a ) в первое уравнение:
[
x\left(\frac{250}{x + 2} + 40\right) = 270
]
Раскроем скобки:
[
x \cdot \frac{250}{x + 2} + 40x = 270
]
Умножим уравнение на ( x + 2 ) для устранения дроби:
[
250x + 40x(x + 2) = 270(x + 2)
]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
[
250x + 40x^2 + 80x = 270x + 540
]
[
40x^2 + 250x + 80x - 270x - 540 = 0
]
[
40x^2 + 60x - 540 = 0
]
Теперь упростим уравнение:
[
4x^2 + 6x - 54 = 0
]
Разделим все коэффициенты на 2:
[
2x^2 + 3x - 27 = 0
]
Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней:
[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225
]
Корни уравнения находим по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 15}{4}
]
Таким образом, получаем два корня:
- ( x_1 = \frac{12}{4} = 3 )
- ( x_2 = \frac{-18}{4} ) (отрицательный корень нам не подходит)
Следовательно, первая бригада работала 3 дня. Найдем количество дней для второй бригады:
[
y = x + 2 = 3 + 2 = 5
]
Таким образом, первая бригада работала 3 дня, а вторая бригада — 5 дней.
