Периметр треугольника 108 см. Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй и на 23 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника.
Обозначим стороны треугольника как \( a \), \( b \) и \( c \). Из условия задачи имеем следующие уравнения:
Периметр треугольника: \[ a + b + c = 108 \]
Одна сторона в 3 раза меньше второй: \[ a = \frac{1}{3}b \]
Одна сторона на 23 см меньше третьей: \[ a = c - 23 \]
Теперь подставим выражение \( a \) из второго уравнения в первые два уравнения.
Подставим \( a \): \[ \frac{1}{3}b + b + c = 108 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{3}b + \frac{3}{3}b + c = 108 \] \[ \frac{4}{3}b + c = 108 \] Умножим уравнение на 3: \[ 4b + 3c = 324 \quad (1) \]
Подставим \( a \) в третье уравнение: \[ \frac{1}{3}b = c - 23 \] Умножим на 3: \[ b = 3c - 69 \quad (2) \]
Теперь подставим выражение для \( b \) из уравнения (2) в уравнение (1): \[ 4(3c - 69) + 3c = 324 \] Решим это уравнение: \[ 12c - 276 + 3c = 324 \] \[ 15c - 276 = 324 \] \[ 15c = 600 \] \[ c = 40 \]
Теперь найдем \( b \) и \( a \): Подставим \( c \) в уравнение (2): \[ b = 3(40) - 69 = 120 - 69 = 51 \]
Теперь подставим \( b \) в уравнение для \( a \): \[ a = \frac{1}{3}b = \frac{1}{3}(51) = 17 \]
Итак, мы нашли стороны треугольника: \[ a = 17 \text{ см}, \quad b = 51 \text{ см}, \quad c = 40 \text{ см}. \]
Проверим, верно ли соблюдено условие с периметром: \[ 17 + 51 + 40 = 108 \text{ см}. \]
Таким образом, стороны треугольника: \[ a = 17 \text{ см}, \quad b = 51 \text{ см}, \quad c = 40 \text{ см}. \]
