Обозначим стороны треугольника как ( a ), ( b ) и ( c ). Из условия задачи имеем следующие уравнения:
Периметр треугольника:
[
a + b + c = 108
]
Одна сторона в 3 раза меньше второй:
[
a = \frac{1}{3}b
]
Одна сторона на 23 см меньше третьей:
[
a = c - 23
]
Теперь подставим выражение ( a ) из второго уравнения в первые два уравнения.
Подставим ( a ):
[
\frac{1}{3}b + b + c = 108
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{1}{3}b + \frac{3}{3}b + c = 108
]
[
\frac{4}{3}b + c = 108
]
Умножим уравнение на 3:
[
4b + 3c = 324 \quad (1)
]
Подставим ( a ) в третье уравнение:
[
\frac{1}{3}b = c - 23
]
Умножим на 3:
[
b = 3c - 69 \quad (2)
]
Теперь подставим выражение для ( b ) из уравнения (2) в уравнение (1):
[
4(3c - 69) + 3c = 324
]
Решим это уравнение:
[
12c - 276 + 3c = 324
]
[
15c - 276 = 324
]
[
15c = 600
]
[
c = 40
]
Теперь найдем ( b ) и ( a ):
Подставим ( c ) в уравнение (2):
[
b = 3(40) - 69 = 120 - 69 = 51
]
Теперь подставим ( b ) в уравнение для ( a ):
[
a = \frac{1}{3}b = \frac{1}{3}(51) = 17
]
Итак, мы нашли стороны треугольника:
[
a = 17 \text{ см}, \quad b = 51 \text{ см}, \quad c = 40 \text{ см}.
]
Проверим, верно ли соблюдено условие с периметром:
[
17 + 51 + 40 = 108 \text{ см}.
]
Таким образом, стороны треугольника:
[
a = 17 \text{ см}, \quad b = 51 \text{ см}, \quad c = 40 \text{ см}.
]
