А
На странице представлен пример доказательства неравенства и задачи для решения.
Пример 5:
Необходимо доказать, что: \[ \frac{1}{3 - 2} + \frac{1}{4 - 3} + \ldots + \frac{1}{100 - 99} > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{99} \]
В решении используется: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]
Таким образом: \[ A = \frac{1}{3 - 2} + \frac{1}{4 - 3} + \ldots + \frac{1}{100 - 99} = 1 - \frac{1}{100} \]
Очевидно: \[ A < B = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{99} \]
Поэтому: \[ A^2 < A \cdot B = \left(1 - \frac{1}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{99}\right) \]
Задачи:
Задача 5-7 (1): Петя тратит \(\frac{1}{3}\) своего времени на игру в футбол, \(\frac{1}{10}\) — на учёбу, и \(\frac{1}{5}\) — на просмотр кинофильмов. Сколько времени тратится на другие занятия?
Задача 5-7 (2): В банке на 6 окуней, 10 вьюнов и 12 щек. Что тяжелее: 7 карасей или 3 щуки?
Задача 5-7 (3): Можно ли разлить 50 литров бензина в три бака: 9 л, 15 л и 28 л так, чтобы во втором было в 2 раза больше, чем в первом, и в третьем столько же, сколько в первом и втором вместе?
Задача 5-7 (4): Три мальчика нашли 10 съедобных и 5 ядовитых грибов. Как можно раздать их попарно так, чтобы каждый получил по два грибных букетика?
Задача 5-7 (5): Саша, Маша и Наташа собирали грибы. Саша собрал ядовитые, а Наташа съедобные. Какое количество грибов нашла каждая девочка?
Эти задачи можно решать с использованием алгебраических методов и логического анализа.
