( x/(x + 5) + (x + 5)/(x - 5) - 50/(x^2 - 25) = 0 решить через дискриминант

Давайте решим уравнение

\[ \frac{x}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 5} - \frac{50}{x^2 - 25} = 0. \]

Первым делом упростим уравнение. Заметим, что \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\), следовательно:

\[ \frac{50}{x^2 - 25} = \frac{50}{(x - 5)(x + 5)}. \]

Перепишем уравнение, заменив \( \frac{50}{x^2 - 25} \):

\[ \frac{x}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 5} - \frac{50}{(x - 5)(x + 5)} = 0. \]

Сначала объединим дроби, чтобы убрать знаменатели. Умножим обе стороны на \( (x + 5)(x - 5) \):

\[ x(x - 5) + (x + 5)(x + 5) - 50 = 0. \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 5x + (x^2 + 10x + 25) - 50 = 0. \]

Соберем всё в одну сторону:

\[ 2x^2 + 5x - 25 = 0. \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 2\), \( b = 5\), \( c = -25\).

Теперь найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225. \]

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня.

Теперь найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{4}. \]

Вычислим:

\[ \sqrt{225} = 15, \]

Тогда корни:

\[ x_1 = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5. \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{5}{2}, \quad x_2 = -5. \]

Нужно также проверить, что корни не нарушают условия, например, что определитель дробей не равен нулю. Поскольку \( x = -5\) приводит к делению на ноль в дроби \( \frac{x}{x + 5}\), то это значение исключается из решений.

Итак, окончательный ответ:

\[ x = \frac{5}{2}. \]