Давайте решим уравнение
[
\frac{x}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 5} - \frac{50}{x^2 - 25} = 0.
]
Первым делом упростим уравнение. Заметим, что (x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)), следовательно:
[
\frac{50}{x^2 - 25} = \frac{50}{(x - 5)(x + 5)}.
]
Перепишем уравнение, заменив ( \frac{50}{x^2 - 25} ):
[
\frac{x}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 5} - \frac{50}{(x - 5)(x + 5)} = 0.
]
Сначала объединим дроби, чтобы убрать знаменатели. Умножим обе стороны на ( (x + 5)(x - 5) ):
[
x(x - 5) + (x + 5)(x + 5) - 50 = 0.
]
Раскроем скобки:
[
x^2 - 5x + (x^2 + 10x + 25) - 50 = 0.
]
Соберем всё в одну сторону:
[
2x^2 + 5x - 25 = 0.
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 2), ( b = 5), ( c = -25).
Теперь найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225.
]
Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня.
Теперь найдем корни уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{4}.
]
Вычислим:
[
\sqrt{225} = 15,
]
Тогда корни:
[
x_1 = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2},
]
[
x_2 = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5.
]
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = \frac{5}{2}, \quad x_2 = -5.
]
Нужно также проверить, что корни не нарушают условия, например, что определитель дробей не равен нулю. Поскольку ( x = -5) приводит к делению на ноль в дроби ( \frac{x}{x + 5}), то это значение исключается из решений.
Итак, окончательный ответ:
[
x = \frac{5}{2}.
]
