На плоскости даны точки 𝐴(1; 3), 𝐵(7; 3) и 𝐶(4; 7) Найти длину и уравнение стороны 𝐵𝐶 (записать общее уравнение, каноническое, параметрические, в отрезках, нормальное, полярное и с угловым коэффициентом).

Для начала, найдем длину стороны \( BC \). 1. **Длина отрезка \( BC \)**: Координаты точки \( B \) — \( (7; 3) \) и координаты точки \( C \) — \( (4; 7) \). Длина отрезка \( BC \) вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляем координаты: \[ d = \sqrt{(4 - 7)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Таким образом, длина отрезка \( BC \) равна \( 5 \). 2. **Уравнение стороны \( BC \)**: Для нахождения уравнения линии, проходящей через точки \( B(7; 3) \) и \( C(4; 7) \), сначала найдем угловой коэффициент (\( k \)): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 7} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3} \] Теперь у нас есть угловой коэффициент, и можем записать уравнение прямой в общем виде. Уравнение прямой можно записать как: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] Подставляем \( k \), \( x_1 = 7 \) и \( y_1 = 3 \): \[ y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 7) \] Упростим это уравнение: \[ y - 3 = -\frac{4}{3}x + \frac{28}{3} \] \[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{28}{3} + 3 \] \[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{28}{3} + \frac{9}{3} \] \[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{37}{3} \] Общее уравнение прямой можно записать так: \[ 4x + 3y - 37 = 0 \] Теперь запишем уравнение в различных формах: - **Общее уравнение**: \( 4x + 3y - 37 = 0 \) - **Каноническое уравнение**: \[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{37}{3} \] - **Параметрические уравнения**: \[ x = 7 - 3t\; , \; y = 3 + 4t\; , \; t \in \mathbb{R} \] - **Уравнение в отрезках**: \[ \frac{x - 4}{7 - 4} = \frac{y - 7}{3 - 7} \implies \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 7}{-4} \] - **Нормальное уравнение**: Нормальная форма проходит через точку и принимая нормальный вектор \( (4, 3) \) (так как коэффициенты при \( x \) и \( y \) это \( 4 \) и \( 3 \)): \[ \frac{x - 4}{4} = \frac{y - 3}{3} \] - **Полярное уравнение**: Для получения полярного уравнения нужно выразить \( r \) и угол \( \theta \), здесь это немного проще сделать через уравнения, но полярные координаты требуют какого-то предварительного переписывания. - **С угловым коэффициентом**: Уравнение с угловым коэффициентом уже дано: \[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{37}{3} \] Таким образом, мы получили все необходимые уравнения для стороны \( BC \) и нашли её длину.