Первый известный русский летописец Нестор интересовался происхождением славян, нравами и обычаями славянских племён, их историей. Мы вполне можем назвать его славяноведом, ибо он…

В вашем тексте выделим грамматические основы предложений и укажем часть речи, выражающую сказуемое:

1. Первый известный русский летописец Нестор интересовался происхождением славян, нравами и обычаями славянских племён, их историей.

   • Грамматическая основа: Нестор (подлежащее) интересовался (сказуемое — глагол).

2. Мы вполне можем назвать его славяноведом, ибо он изучал язык, историю и быт славян.

   • Грамматическая основа: Мы (подлежащее) можем назвать (сказуемое — модальный глагол + инфинитив; также можно выделить "он" — подлежащее и "изучал" — сказуемое).

3. Интерес к славянам, едва ли не самой многочисленной языковой и этнической группе в Европе, не ослабевал и после Нестора-летописца.

   • Грамматическая основа: Интерес (подлежащее) не ослабевал (сказуемое — глагол).

4. XIX век с самого начала пробудил интерес к живой народной жизни, к познанию своего культурного и исторического прошлого.

   • Грамматическая основа: XIX век (подлежащее) пробудил (сказуемое — глагол).

5. У славян этот интерес был связан с борьбой за существование, за сохранение своего языка и своих традиций.

   • Грамматическая основа: интерес (подлежащее) был связан (сказуемое — глагол в пассивной форме).

6. Почти все южные и западные славяне, и даже часть восточных славян, страдали от иноземного ига.

   • Грамматическая основа: славяне (подлежащее) страдали (сказуемое — глагол).

7. В условиях борьбы за свою независимость началось славянское национальное возрождение.

   • Грамматическая основа: возрождение (подлежащее) началось (сказуемое — глагол).

8. Возникли славянская филология и история.

   • Грамматическая основа: филология и история (подлежащие) возникли (сказуемое — глагол).

Таким образом, мы подчеркнули грамматические основы предложений и указали частично, какой частью речи выражено сказуемое.