Для решения уравнения ( \frac{x + 15}{4} - \frac{21}{x + 2} = 2 ), давайте сначала избавимся от дробей, умножив оба стороны уравнения на ( 4(x + 2) ):
[
4(x + 2) \left( \frac{x + 15}{4} \right) - 4(x + 2) \left( \frac{21}{x + 2} \right) = 4(x + 2) \cdot 2
]
После применения множителя, уравнение приобретает следующий вид:
[
(x + 15)(x + 2) - 84 = 8(x + 2)
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 + 2x + 15x + 30 - 84 = 8x + 16
]
Соберем все слагаемые в одну сторону:
[
x^2 + 17x + 30 - 84 - 8x - 16 = 0
]
Упростим уравнение:
[
x^2 + 9x - 70 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 9x - 70 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361
]
Теперь найдем корни, используя формулу:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 19}{2}
]
Получаем два корня:
[
x_1 = \frac{10}{2} = 5
]
[
x_2 = \frac{-28}{2} = -14
]
Ответ: ( x = 5 ) и ( x = -14 ).
Нужно также проверить, что оба значения не вызывают деление на ноль в исходном уравнении. Первое значение ( x = 5 ) и второе значение ( x = -14 ) не делают знаменатели равными нулю, поэтому оба корня допустимы.
