Чтобы найти значение ускорения свободного падения на поверхности планеты, мы можем использовать формулу для расчета ускорения свободного падения ( g ):
[
g = \frac{GM}{R^2}
]
где:
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( M ) — масса планеты,
- ( R ) — радиус планеты.
Плотность планеты ( \rho ) связана с массой и объемом следующим образом:
[
M = \rho V
]
Объем сферы рассчитывается по формуле:
[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
]
Таким образом, масса планеты выражается как:
[
M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3
]
Теперь можем подставить это выражение для массы в формулу ускорения свободного падения:
[
g = \frac{G \cdot \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \right)}{R^2}
]
Упростим это выражение:
[
g = \frac{4}{3} \pi G \rho R
]
Теперь сравним с земным значением. Для Земли у нас есть:
[
g_{\text{Земля}} = \frac{4}{3} \pi G \rho_{\text{Земля}} R_{\text{Земля}}
]
Поскольку плотность планеты равна плотности Земли (( \rho = \rho_{\text{Земля}} )), а радиус планеты в 2 раза меньше радиуса Земли (( R = \frac{1}{2} R_{\text{Земля}} )), можем подставить эти значения в уравнение для ускорения свободного падения на новой планете:
[
g = \frac{4}{3} \pi G \rho_{\text{Земля}} \left(\frac{1}{2} R_{\text{Земля}}\right)
]
Сравнив с выражением для ускорения свободного падения на Земле, получаем:
[
g = \frac{1}{2} g_{\text{Земля}}
]
Подставим значение ускорения свободного падения на Земле (( g_{\text{Земля}} = 10 , \text{м/с}^2 )):
[
g = \frac{1}{2} \cdot 10 , \text{м/с}^2 = 5 , \text{м/с}^2
]
Таким образом, значение ускорения свободного падения на поверхности данной планеты равно ( 5 , \text{м/с}^2 ).
