В треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 60°. BD биссектриса. CD = 18 см. Найдите AD.

В треугольнике ABC у нас угол C равен 90°, угол B равен 60°, следовательно, угол A равен 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Так как BD — биссектрисa угла B, мы можем использовать теорему о биссектрисе:

\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \]

Где \(DC = 18\) см.

Теперь найдем длины сторон AB и BC. В треугольнике ABC, используя радиус окружности, описанной вокруг треугольника с углом 30°:

1. Сторона BC (против угла A) будет противоположной углу A. Используя соотношения в треугольнике со сторонами в пропорции: \( BC = AC \cdot \sin(B) = AC \cdot \sin(60^\circ) \)

2. Сторона AB (против угла C) будет противоположной углу C. Используя аналогично: \( AB = AC \cdot \sin(C) = AC \cdot \sin(90^\circ) = AC \)

Теперь у нас есть формулы для сторон в зависимости от высоты AC:

Таким образом, у нас получается:

1. \( AB = h \)
2. \( BC = h \cdot \sqrt{3}/2 \)

Теперь подставим длины в уравнение:

\[ \frac{AD}{18} = \frac{h}{h \cdot \sqrt{3}/2} \]

Это упрощается до:

\[ \frac{AD}{18} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Отсюда:

\[ AD = 18 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \]

Таким образом,

\[ AD \approx 20,78 \text{ см}. \]

Итак, длина отрезка AD равна \( 12\sqrt{3} \) см или приблизительно 20,78 см.