Чтобы решить неравенство \((x+11)(x+2)(x-9)>0\) методом интервала, нужно выполнить следующие шаги:
1. **Найдем корни**: Решаем уравнение \((x+11)(x+2)(x-9) = 0\). Корни таковы:
- \(x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11\)
- \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
- \(x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9\)
Итак, корни: \(x_1 = -11\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 9\).
2. **Разобьем числовую прямую на интервалы**: Корни делят числовую прямую на следующие интервалы:
- \((-∞, -11)\)
- \((-11, -2)\)
- \((-2, 9)\)
- \((9, +∞)\)
3. **Определим знак выражения на каждом интервале**: Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство.
- Для интервала \((-∞, -11)\), например, \(x = -12\):
\[
(-12 + 11)(-12 + 2)(-12 - 9) = (-1)(-10)(-21) < 0
\]
- Для интервала \((-11, -2)\), например, \(x = -5\):
\[
(-5 + 11)(-5 + 2)(-5 - 9) = (6)(-3)(-14) > 0
\]
- Для интервала \((-2, 9)\), например, \(x = 0\):
\[
(0 + 11)(0 + 2)(0 - 9) = (11)(2)(-9) < 0
\]
- Для интервала \((9, +∞)\), например, \(x = 10\):
\[
(10 + 11)(10 + 2)(10 - 9) = (21)(12)(1) > 0
\]
4. **Подведем итоги**: Мы нашли знаки на интервалах:
- На интервале \((-∞, -11)\): отрицательный знак
- На интервале \((-11, -2)\): положительный знак
- На интервале \((-2, 9)\): отрицательный знак
- На интервале \((9, +∞)\): положительный знак
5. **Запишем ответ**: Нам нужны интервалы, где произведение положительно:
\[
(-11, -2) \cup (9, +∞)
\]
Таким образом, решение неравенства \((x+11)(x+2)(x-9) > 0\) — это \(x \in (-11, -2) \cup (9, +∞)\).
