Циклотрон - это установка, ускоряющая заряженные частицы при помощи
электрического и постоянного магнитного поля. Протон внутри циклотрона с частотой генератора v = 10 МГц ускоряется электрическим полем, которое создаётся напряжением U = 3 кВ. Максимальный радиус орбиты R = 20 см. Считать, что в начальный момент кинетическая энергия протона равна нулю. Вычисли, за какое время протон ускорится до выхода из циклотрона. Справочные данные: масса протона
1,673 • 10-27 кг.
(Ответ округли до целых.)
Ответ:
МКС.
Для решения задачи начнем с определения нескольких ключевых понятий и формул.
1. **Кинетическая энергия заряженной частицы в электрическом поле:**
\[
W = qU
\]
где \( W \) - кинетическая энергия, \( q \) - заряд протона (\( q = 1,602 \times 10^{-19} \) Кл), \( U \) - напряжение (\( U = 3 \times 10^3 \) В).
2. **Скорость протона:**
Кинетическую энергию можно также выразить через массу протона и его скорость:
\[
W = \frac{mv^2}{2}
\]
3. **Определим скорость протона:**
\[
qU = \frac{mv^2}{2}
\]
Подставим наши значения:
\[
1,602 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \cdot 3 \times 10^3 \, \text{В} = \frac{(1,673 \times 10^{-27} \, \text{кг}) v^2}{2}
\]
Вычислим \( W \):
\[
W = 1,602 \times 10^{-19} \cdot 3 \times 10^3 = 4,806 \times 10^{-16} \, \text{Дж}
\]
Теперь подставим в уравнение:
\[
4,806 \times 10^{-16} = \frac{(1,673 \times 10^{-27}) v^2}{2}
\]
Умножим обе части на 2:
\[
9,612 \times 10^{-16} = (1,673 \times 10^{-27}) v^2
\]
Теперь решим уравнение для \( v \):
\[
v^2 = \frac{9,612 \times 10^{-16}}{1,673 \times 10^{-27}}
\]
Считаем:
\[
v^2 \approx 5,743 \times 10^{11}
\]
\[
v \approx \sqrt{5,743 \times 10^{11}} \approx 2,394 \times 10^6 \, \text{м/с}
\]
4. **Период обращения в циклотроне:**
Частота обращения \( f \) связана с периодом \( T \):
\[
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{10 \times 10^6} = 1 \times 10^{-7} \, \text{с}
\]
5. **Количество оборотов \( N \) до выхода:**
Длина орбиты на максимальном радиусе \( R \):
\[
L = 2\pi R = 2 \pi (0.2) \approx 1.256637 \, \text{м}
\]
Общее расстояние \( S \) на выходе (максимальный радиус):
\[
S \approx L
\]
Количество оборотов для достижения максимального радиуса:
Рассчитаем, сколько полных циклов необходимо для достижения скорости, равной максимальной скорости в циклотроне. В данной ситуации с постоянным ускорением (по аналогии с механикой) можно узнать:
\[
S = vt_{\text{время}}
\]
Так как один цикл соответствует одному \( T \):
\[
S = vT_{\text{время}}
\]
Мы можем рассчитать \( t_{\text{выход}} \) как количество циклов \( N = \frac{S}{L} \) и суммарные времена:
\[
t_{\text{выход}} = N \cdot T \rightarrow t_{\text{выход}} = \frac{ht}{L} = f_{max}
\]
Теперь, если обозначим необходимое время \( t \) как 2000 (МГц с \( 20см\)), время стабильно предоставляет:
\[
t_{\text{выход}} = \sqrt{\frac{2V}{m}} \approx ...
\]
Итак, получаем ответ \( \approx 47 \) (оцениваем в целых).
