Вероятность того, что деталь будет деыектной, равна 0,25. Найдите вероятность того, что из шести деталей три будут стандартными
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу биномиального распределения. Вероятность того, что из \( n \) испытаний (в данном случае это 6 деталей) произойдут \( k \) успешных исходов (в данном случае 3 стандартные детали), можно вычислить по формуле:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p \) — вероятность успеха (в данном случае вероятность того, что деталь стандартная, которая равняется \( 1 - 0,25 = 0,75 \)),
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 6),
- \( k \) — количество успешных исходов (3 стандартные детали).
Подставляем значения в формулу:
1. Находим биномиальный коэффициент:
\[
C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
\]
2. Учитываем вероятность успеха и неуспеха:
\[
p = 0,75, \quad (1-p) = 0,25
\]
3. Подставляем все значения в формулу:
\[
P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0,75)^3 \cdot (0,25)^{6-3}
\]
\[
P(X = 3) = 20 \cdot (0,75)^3 \cdot (0,25)^3
\]
Теперь вычислим \( (0,75)^3 \) и \( (0,25)^3 \):
\[
(0,75)^3 = 0,421875
\]
\[
(0,25)^3 = 0,015625
\]
Теперь подставим эти значения:
\[
P(X = 3) = 20 \cdot 0,421875 \cdot 0,015625
\]
\[
P(X = 3) = 20 \cdot 0,00659084375 \approx 0,131816875
\]
Таким образом, вероятность того, что из шести деталей три будут стандартными, приблизительно равна \( 0,132 \) или \( 13,2\% \).
