Внесите множитель под знак корня: Б) (3 - 2sqrt(2)) * sqrt(17 + 12sqrt(2))
Чтобы внести множитель под знак корня в выражении \( (3 - 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} \), можно воспользоваться свойствами корней и упрощениями.
Распишем подкоренное выражение \( 17 + 12\sqrt{2} \). У нас есть форма \( a + b\sqrt{c} \), попытаемся привести это к квадратному корню: \[ 17 + 12\sqrt{2} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \] Раскроем скобки: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \] Сравним коэффициенты: \[ a + b = 17 \quad \text{и} \quad 2\sqrt{ab} = 12\sqrt{2} \implies \sqrt{ab} = 6\sqrt{2} \implies ab = 72 \]
Значит, нужно решить систему уравнений: \[ a + b = 17 \] \[ ab = 72 \]
Рассмотрим корни квадратного уравнения: \[ x^2 - 17x + 72 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 17^2 - 4 \cdot 72 = 289 - 288 = 1 \]
Корни: \[ x_1 = \frac{17 + 1}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{17 - 1}{2} = 8 \]
Значит, \( a = 9 \) и \( b = 8 \) (или наоборот). Таким образом: \[ 17 + 12\sqrt{2} = (\sqrt{9} + \sqrt{8})^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2 \]
Теперь можем подставить это выражение обратно: \[ (3 - 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = (3 - 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} \] Так как \( \sqrt{x^2} = |x| \), и в нашем случае \( 3 + 2\sqrt{2} > 0\): \[ \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} = 3 + 2\sqrt{2} \]
Упростим выражение: \[ (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1 \]
Таким образом, окончательный результат: \[ (3 - 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = 1. \]
