У вас есть уравнение, которое можно записать следующим образом:
[\frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3.]
Чтобы решить это уравнение, начнем с нахождения общего знаменателя. Общий знаменатель для дробей ((x - 3)) и (x) - это (x(x - 3)).
Перепишем каждую дробь с общим знаменателем:
[
\frac{5x}{x(x - 3)} - \frac{8(x - 3)}{x(x - 3)} = 3.
]
Это уравнение можно упростить:
[
\frac{5x - 8(x - 3)}{x(x - 3)} = 3.
]
Теперь уберем знаменатель, умножив обе стороны на (x(x - 3)) (при условии, что (x \neq 0) и (x \neq 3)):
[
5x - 8(x - 3) = 3x(x - 3).
]
Теперь упростим обе стороны:
[
5x - 8x + 24 = 3x^2 - 9x.
]
Это уравнение можно переписать как:
[
-3x + 24 = 3x^2 - 9x.
]
Переносим всё на одну сторону:
[
3x^2 - 6x - 24 = 0.
]
Разделим уравнение на 3:
[
x^2 - 2x - 8 = 0.
]
Теперь находим корни этого квадратного уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где (a = 1), (b = -2), (c = -8):
[
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}.
]
Таким образом, у нас два решения:
- (x = \frac{8}{2} = 4),
- (x = \frac{-4}{2} = -2).
Теперь проверим, что эти значения не делают знаменатели равными нулю:
- Для (x = 4): (x - 3 = 1) и (x = 4) - оба ненулевые.
- Для (x = -2): (x - 3 = -5) и (x = -2) - оба ненулевые.
Таким образом, оба решения верны:
[
x = 4 \quad \text{и} \quad x = -2.
]
