найти корни уравнения 2sin x - 1=0 принадлежащие промежутку (0;3 п)
Для решения уравнения \(2\sin x - 1 = 0\), сначала выразим синус:
\[ 2\sin x = 1 \] \[ \sin x = \frac{1}{2} \]
Теперь нужно найти все значения \(x\), для которых \(\sin x = \frac{1}{2}\). Основное решение находится в первом и втором квадранте:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Теперь найдем все корни в промежутке \( (0; 3\pi) \).
Для первого решения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
- Для \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{6} \approx 0.524 \in (0, 3\pi)\)
- Для \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \approx 6.806 \in (0, 3\pi)\)
Для \(k = 2\): \(x = \frac{13\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \approx 13.090\; (не \in (0, 3\pi))\)
Для второго решения: \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
- Для \(k = 0\): \(x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618 \in (0, 3\pi)\)
- Для \(k = 1\): \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx 8.839 \in (0, 3\pi)\)
Для \(k = 2\): \(x = \frac{17\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{29\pi}{6} \approx 15.100\; (не \in (0, 3\pi))\)
Таким образом, корни уравнения \(2\sin x - 1 = 0\) в промежутке \( (0; 3\pi) \): \[ x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6}, \quad x = \frac{13\pi}{6}, \quad x = \frac{17\pi}{6} \]
