1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 1/4. Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем – 4…

Давайте последовательно решим все ваши задачи.

Задача 1

В данной задаче мы ищем вероятность события, при котором сначала происходит 2 успеха, а затем 4 неудачи, в серии из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха \( p = \frac{1}{4} \).

1. Вероятность успеха \( p = \frac{1}{4} \) и вероятность неудачи \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \).
2. Сначала нам нужно получить 2 успеха, что соответствует произошедшим событиям: \( S, S, N, N, N, N \).

Вероятность такого события: \[ P = p^2 \cdot q^4 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \] \[ P = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096} \]

Задача 2

В этой задаче мы ищем количество элементарных событий с 3 успехами (и, следовательно, 6 неудачами) в серии из 9 испытаний Бернулли.

Формула, которую мы используем для вычисления количества способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний, называется биномиальным коэффициентом: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] где \( n = 9 \) и \( k = 3 \).

Вычислим:

\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 \]

Ответ: 84 элементарных события с 3 успехами.

Задача 3

Мы ищем вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты (где вероятность «орла» \( p = 0.5 \) и вероятность «решки» тоже \( q = 0.5 \)).

Используем биномиальную вероятность: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Для нашего случая: \[ n = 12, \quad k = 7, \quad p = q = 0.5 \]

Вычислим: \[ C(12, 7) = \frac{12!}{7! \cdot (12-7)!} = \frac{12!}{7! \cdot 5!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792 \]

Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 7) = 792 \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{5} = 792 \cdot (0.5)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512} \]

Задача 4

В данной задаче мы ищем вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз из 6 выстрелов, когда вероятность попадания равна \( 0.6 \).

Мы можем использовать дополнение: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \]

Сначала найдем \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.4)^6 \approx 0.004096 \]

Теперь найдем \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 \approx 0.036864 \]

Теперь вычислим: \[ P(X \geq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \approx 1 - (0.004096 + 0.036864) \approx 1 - 0.04196 \approx 0.95804 \]

Таким образом, итоговые вероятности:

1. \( \frac{81}{4096} \)
2. 84
3. \( \frac{99}{512} \)
4. \( \approx 0.95804 \)