Давайте последовательно решим все ваши задачи.
Задача 1
В данной задаче мы ищем вероятность события, при котором сначала происходит 2 успеха, а затем 4 неудачи, в серии из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха ( p = \frac{1}{4} ).
- Вероятность успеха ( p = \frac{1}{4} ) и вероятность неудачи ( q = 1 - p = \frac{3}{4} ).
- Сначала нам нужно получить 2 успеха, что соответствует произошедшим событиям: ( S, S, N, N, N, N ).
Вероятность такого события:
[
P = p^2 \cdot q^4 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
[
P = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096}
]
Задача 2
В этой задаче мы ищем количество элементарных событий с 3 успехами (и, следовательно, 6 неудачами) в серии из 9 испытаний Бернулли.
Формула, которую мы используем для вычисления количества способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний, называется биномиальным коэффициентом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
где ( n = 9 ) и ( k = 3 ).
Вычислим:
[
C(9, 3) = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84
]
Ответ: 84 элементарных события с 3 успехами.
Задача 3
Мы ищем вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты (где вероятность «орла» ( p = 0.5 ) и вероятность «решки» тоже ( q = 0.5 )).
Используем биномиальную вероятность:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
Для нашего случая:
[
n = 12, \quad k = 7, \quad p = q = 0.5
]
Вычислим:
[
C(12, 7) = \frac{12!}{7! \cdot (12-7)!} = \frac{12!}{7! \cdot 5!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792
]
Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 7) = 792 \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{5} = 792 \cdot (0.5)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512}
]
Задача 4
В данной задаче мы ищем вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз из 6 выстрелов, когда вероятность попадания равна ( 0.6 ).
Мы можем использовать дополнение:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
]
Сначала найдем ( P(X = 0) ):
[
P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.4)^6 \approx 0.004096
]
Теперь найдем ( P(X = 1) ):
[
P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 \approx 0.036864
]
Теперь вычислим:
[
P(X \geq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \approx 1 - (0.004096 + 0.036864) \approx 1 - 0.04196 \approx 0.95804
]
Таким образом, итоговые вероятности:
- ( \frac{81}{4096} )
- 84
- ( \frac{99}{512} )
- ( \approx 0.95804 )
