Производная 3 корень квадратный (4+3x)^2

Чтобы найти производную функции \( y = 3\sqrt{(4 + 3x)^2} \), сначала упростим выражение под корнем.

Так как \( \sqrt{(a)^2} = |a| \), то:

\[ y = 3 |(4 + 3x)| \]

Зависит от знака \( (4 + 3x) \). Решим задачу для двух случаев.

1. Если \( 4 + 3x \geq 0 \) (то есть \( x \geq -\frac{4}{3} \)): \[ y = 3(4 + 3x) = 12 + 9x \]

2. Если \( 4 + 3x < 0 \) (то есть \( x < -\frac{4}{3} \)): \[ y = 3(-(4 + 3x)) = -12 - 9x \]

Теперь найдем производную для оба случая.

Случай 1: \( x \geq -\frac{4}{3} \)

\[ y' = \frac{d}{dx}(12 + 9x) = 9 \]

Случай 2: \( x < -\frac{4}{3} \)

\[ y' = \frac{d}{dx}(-12 - 9x) = -9 \]

Результат

Теперь подытожим:

• Для \( x \geq -\frac{4}{3} \), \( y' = 9 \)
• Для \( x < -\frac{4}{3} \), \( y' = -9 \)

Таким образом, производная \( y' \) принимает одно из двух значений в зависимости от значения \( x \).