Обозначим количество деталей, которое делает второй рабочий за час, как ( x ). Тогда первый рабочий делает ( x + 2 ) деталей за час.
Пусть ( t ) - время, которое тратит второй рабочий на выполнение заказа. Тогда:
- Время, которое тратит первый рабочий, будет ( t - 8 ) часов (так как он выполняет заказ на 8 часов быстрее).
- Второй рабочий за ( t ) часов сделает ( x \cdot t ) деталей.
- Первый рабочий за ( t - 8 ) часов сделает ( (x + 2) \cdot (t - 8) ) деталей.
Так как оба рабочих делают один и тот же объем деталей, можем составить уравнение:
[
x \cdot t = (x + 2) \cdot (t - 8).
]
Теперь раскроим скобки:
[
x t = (x + 2)t - 8(x + 2).
]
Приведем все члены к одной стороне:
[
x t - (x + 2)t + 8(x + 2) = 0.
]
Сложим подобные члены:
[
x t - xt - 2t + 8x + 16 = 0,
]
что упрощается до:
[
-2t + 8x + 16 = 0.
]
Теперь выразим ( t ):
[
2t = 8x + 16 \implies t = 4x + 8.
]
Теперь подставим найденное значение ( t ) обратно в уравнение для рабочего, например, второго рабочего:
[
x \cdot t = x(4x + 8).
]
Теперь подставим это значение в уравнение для первого рабочего:
[
(x + 2)(t - 8) = (x + 2)(4x + 8 - 8) = (x + 2)(4x) = 4x(x + 2).
]
Теперь получаем:
[
x(4x + 8) = 4x(x + 2).
]
Раскроем скобки:
[
4x^2 + 8x = 4x^2 + 8x.
]
Мы видим, что у нас уравнение выполняется для любых ( x ), что говорит о том, что так как у нас нет четкой зависимости ( x ), нам необходимо подходить к компромиссу.
Попробуем теперь найти значение ( x ) и ( x + 2 ).
Давайте попробуем взять количество деталей ( x = 6 ) детали в час, тогда ( x + 2 = 8 ).
Теперь проверим, выполнится ли условие о времени:
Если второй рабочий делает 6 деталей в час, тогда ( t ) будет помещен в уравнение:
[
t = 4(6) + 8 = 32.
]
Первый рабочий делает по 8 деталей в час, поэтому:
Время первого рабочего:
[
t - 8 = 32 - 8 = 24.
]
Оба рабочих сделают:
Второй:
[
6 * 32 = 192.
]
Первый:
[
8 * 24 = 192.
]
Условие выполняется!
Ответ:
Первый рабочий делает 8 деталей в час.
