Смешали 0,4 м3 воды при температуре 20 °С и 0,1 м3 воды при температуре 70 °С. Какова температура смеси при тепловом равновесии? Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг • °С).
Для нахождения температуры смеси воды при тепловом равновесии можно воспользоваться законом сохранения энергии. Температура смеси будет находиться в точке, где количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой.
Обозначим:
- \(V_1 = 0,4 \, \text{м}^3\) – объем холодной воды (20 °С),
- \(V_2 = 0,1 \, \text{м}^3\) – объем горячей воды (70 °С),
- \(T_1 = 20 \, \text{°C}\) – температура холодной воды,
- \(T_2 = 70 \, \text{°C}\) – температура горячей воды,
- \(T_f\) – температура смеси в конечном состоянии.
Объем воды в кубических метрах можно перевести в массу, предположив, что плотность воды составляет примерно \(1000 \, \text{кг/m}^3\):
- \(m_1 = V_1 \cdot \rho = 0,4 \, \text{м}^3 \cdot 1000 \, \text{кг/m}^3 = 400 \, \text{кг}\),
- \(m_2 = V_2 \cdot \rho = 0,1 \, \text{м}^3 \cdot 1000 \, \text{кг/m}^3 = 100 \, \text{кг}\).
Количество теплоты, отданное горячей водой: \[ Q_2 = m_2 \cdot c \cdot (T_2 - T_f) = 100 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \text{Дж/(кг • °С)} \cdot (70 - T_f) \]
Количество теплоты, полученное холодной водой: \[ Q_1 = m_1 \cdot c \cdot (T_f - T_1) = 400 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \text{Дж/(кг • °С)} \cdot (T_f - 20) \]
Согласно принципу сохранения энергии, имеем: \[ Q_2 = Q_1 \] \[ 100 \cdot 4200 \cdot (70 - T_f) = 400 \cdot 4200 \cdot (T_f - 20) \]
Сократим на \(4200\): \[ 100 \cdot (70 - T_f) = 400 \cdot (T_f - 20) \]
Раскроем скобки: \[ 7000 - 100T_f = 400T_f - 8000 \]
Соберем все \(T_f\) в одну сторону: \[ 7000 + 8000 = 400T_f + 100T_f \] \[ 15000 = 500T_f \]
Теперь найдем \(T_f\): \[ T_f = \frac{15000}{500} = 30 \, \text{°C} \]
Таким образом, температура смеси при тепловом равновесии составит 30 °С.
