Реши квадратное уравнение x³ + 4x² - x - 4 = 0

Для решения данного кубического уравнения \(x^3 + 4x^2 - x - 4 = 0\) мы можем попробовать найти хотя бы один корень с помощью метода подбора или теоремы о рациональных корнях. Попробуем подставить несколько целых чисел, чтобы найти корень. 1. Подставим \(x = 1\): \[ 1^3 + 4 \cdot 1^2 - 1 - 4 = 1 + 4 - 1 - 4 = 0 \] Таким образом, \(x = 1\) является корнем уравнения. Теперь мы можем использовать деление многочленов, чтобы упростить уравнение. Разделим \(x^3 + 4x^2 - x - 4\) на \(x - 1\) с помощью деления многочлена: 1. Делим \(x^3\) на \(x\), получаем \(x^2\). 2. Умножаем \(x^2\) на \((x - 1)\) и вычитаем: \[ x^3 - x^2 \implies (4x^2 + x^2) = 5x^2 \] 3. Далее, делим \(5x^2\) на \(x\), получаем \(5x\). 4. Умножаем \(5x\) на \((x - 1)\) и вычитаем: \[ 5x^2 - 5x \implies (-x + 5x) = 4x \] 5. Делим \(4x\) на \(x\), получаем \(4\). 6. Умножаем \(4\) на \((x - 1)\) и вычитаем: \[ 4x - 4 \implies -4 + 4 = 0 \] В результате, у нас получилось: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 = (x - 1)(x^2 + 5x + 4) \] Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \(x^2 + 5x + 4 = 0\). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 4\). Теперь подставим значения: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2} \] Теперь находим два корня: 1. \(x_1 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) 2. \(x_2 = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Таким образом, все корни уравнения \(x^3 + 4x^2 - x - 4 = 0\): \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = -4 \]