Чтобы рассчитать вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза при 6 бросках игральной кости, можно использовать биномиальную формулу. Вероятность успеха (выпадение шестерки) в одном броске равна ( p = \frac{1}{6} ), а вероятность неуспеха (выпадение любой другой стороны) равна ( q = 1 - p = \frac{5}{6} ).
Обозначим количество бросков как ( n = 6 ) и количество "успехов" (выпадение шестерки) как ( k = 4 ).
Биномиальная вероятность рассчитывается по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n - k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, равный:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
Теперь подставим значения:
- Вычисляем биномиальный коэффициент:
[
C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6 - 4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
]
- Вычисляем ( p^k ) и ( q^{n - k} ):
[
p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{1296}
]
[
q^{n - k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{6 - 4} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}
]
Теперь подставим все найденные значения в формулу вероятности:
[
P(X = 4) = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36}
]
Выполняем вычисления:
[
P(X = 4) = 15 \cdot \frac{25}{1296 \cdot 36}
]
Сначала найдем ( 1296 \cdot 36 = 46656 ):
[
P(X = 4) = 15 \cdot \frac{25}{46656} = \frac{375}{46656}
]
Теперь можно вычислить это значение:
[
\frac{375}{46656} \approx 0.00802
]
Таким образом, вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза при 6 бросках игральной кости, составляет примерно 0.00802 или 0.802%.
