игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза
Чтобы рассчитать вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза при 6 бросках игральной кости, можно использовать биномиальную формулу. Вероятность успеха (выпадение шестерки) в одном броске равна \( p = \frac{1}{6} \), а вероятность неуспеха (выпадение любой другой стороны) равна \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
Обозначим количество бросков как \( n = 6 \) и количество "успехов" (выпадение шестерки) как \( k = 4 \).
Биномиальная вероятность рассчитывается по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n - k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
Теперь подставим значения:
- Вычисляем биномиальный коэффициент:
\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6 - 4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]
- Вычисляем \( p^k \) и \( q^{n - k} \):
\[ p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{1296} \] \[ q^{n - k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{6 - 4} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \]
Теперь подставим все найденные значения в формулу вероятности:
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} \]
Выполняем вычисления:
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{25}{1296 \cdot 36} \]
Сначала найдем \( 1296 \cdot 36 = 46656 \):
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{25}{46656} = \frac{375}{46656} \]
Теперь можно вычислить это значение:
\[ \frac{375}{46656} \approx 0.00802 \]
Таким образом, вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза при 6 бросках игральной кости, составляет примерно 0.00802 или 0.802%.
