К бруску массой m = 1 кг с помо щью лёгких нерастяжимых нитей привязаны две гирьки массами m и 2m соответственно (рис. 13.5). Чему равны ускорение системы тел и силы натяжения…
К бруску массой m = 1 кг с помо щью лёгких нерастяжимых нитей привязаны две гирьки массами m и 2m соответственно (рис. 13.5). Чему равны ускорение системы тел и силы натяжения каждой нити, если коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2
Для решения задачи о движении системы тел, состоящей из бруска и гирь, необходимо принять во внимание силы, действующие на каждую составляющую системы.
Данные системы:
- Масса бруска \( m = 1\, \text{кг} \)
- Масса первой гирьки \( m = 1\, \text{кг} \)
- Масса второй гирьки \( 2m = 2\, \text{кг} \)
- Коэффициент трения \( \mu = 0,2 \)
Сила трения: Сила трения, действующая на брусок, рассчитывается по формуле: \[ F_{\text{тр}} = \mu \cdot N \] где \( N \) — нормальная сила, равная весу бруска. Поскольку брусок находится на горизонтальной поверхности, \( N = mg \), где \( g \approx 9.81\, \text{м/с}^2 \).
Тогда: \[ N = 1\, \text{кг} \cdot 9.81\, \text{м/с}^2 = 9.81\, \text{Н} \] \[ F_{\text{тр}} = 0.2 \cdot 9.81\, \text{Н} = 1.962\, \text{Н} \]
Сила тяжести на гирьки: Сила тяжести, действующая на гирьку массой \( 1\, \text{кг} \), равна: \[ F_{g1} = 1\, \text{кг} \cdot 9.81\, \text{м/с}^2 = 9.81\, \text{Н} \] Сила тяжести на гирьку массой \( 2\, \text{кг} \): \[ F_{g2} = 2\, \text{кг} \cdot 9.81\, \text{м/с}^2 = 19.62\, \text{Н} \]
Системное уравнение движения: Рассмотрим брусок и гирьки. Брусок будет двигаться с ускорением \( a \). На систему действует сила, создаваемая гирю на конце направления движения, и сила трения противодействует. Полное уравнение будет следующим:
Гирька (2m): \[ T_2 = 2m \cdot g - 2m \cdot a \]
Брусок (массой m): \[ T_1 - F_{\text{тр}} = m \cdot a \]
Объединяя эти уравнения, получим систему:
\[ T_1 = m \cdot a + F_{\text{тр}} \] \[ T_2 = 2m \cdot g - 2m \cdot a \]
- Решим систему уравнений для нахождения ускорения \( a \): Подставим значения \( m = 1 \):
\[ T_1 = a + 1.962 \] \[ T_2 = 19.62 - 2a \]
Приравниваем \( T_1 \) и \( T_2 \), так как натяжение нити, связывающей брусок и гирьку 1, одинаково для обеих гирек:
\[ a + 1.962 = 19.62 - 2a \]
Соберем все слагаемые, содержащие \( a \), с одной стороны:
\[ a + 2a = 19.62 - 1.962 \] \[ 3a = 17.658 \]
Теперь найдём \( a \):
\[ a = \frac{17.658}{3} \approx 5.886\, \text{м/с}^2 \]
- Найдём натяжение нити: Теперь подставим найденное значение \( a \) в выражение для \( T_1 \):
\[ T_1 = 5.886 + 1.962 \approx 7.848\, \text{Н} \]
И в \( T_2 \):
\[ T_2 = 19.62 - 2 \cdot 5.886 \approx 19.62 - 11.772 \approx 7.848\, \text{Н} \]
Ответ:
- Ускорение системы \( a \approx 5.89\, \text{м/с}^2 \)
- Сила натяжения первой нити \( T_1 \approx 7.85\, \text{Н} \)
- Сила натяжения второй нити \( T_2 \approx 7.85\, \text{Н} \)
